考研数学#2019-2025考研究生数学#线性代数基础阶段复习指导

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2018考研终于拉下帷幕，从今年的命题来看，命题角度新颖，综合性提高，难度上升，很多18的考生反应今年线性代数考难了。所以今年的考题特点和命题趋势会给将要考研的2019的考生以启示。在线性代数的学习上，同学们经常走两个极端，一部分同学感觉线性代数是比较好掌握的，也有一部分同学感觉这部分难度比较大。这跟线性代数的科目特点有关。线性代数课程的特点是系统，前后知识的联系非常紧密，概念性很强，对于抽象性与逻辑性有较高的要求，题型比较固定。那基础阶段应如何复习呢?在基础阶段学习资料我认为只需准备教材和一本带考纲的基础教程，线代教材推荐同济五版《线性代数》或清华大学的，基础教程推荐海文考研的教程或讲义，在接触辅导书之前最好先好好学一遍教材，对内容大致有个了解，必须结合考纲，这样才有针对性。但仅看教材，备考数学还是不够的，所以还必须认真学习专门针对考研的基础教程，基础教程的内容一般包括知识点(和教材相比更有针对性，带总结性)，典型例题(和教材相比更贴近考研，综合性更强)和巩固习题。以下从三方面讲一讲基础阶段如何复习好线性代数。
一、掌握基本概念，建立知识框架。
1掌握基本概念
在线代中，定义特别重要，定义往往是掌握原理的出发点的，例如线性相关无关，矩阵的关系中等价，相似，合同等。把这些说法用数学语言严格的表示出来就是定义，然后再分析相互之间有什么联系。考研数学中会出现一些考查说法的选择题，这类题就是专捡那些易混淆部分来考的，命题人可谓是挖空心思，无孔不入，大家可以翻翻历年真题看看就明白了。
线性代数的概念很多，重要的概念有咨询QQ、微信：2544906法，在利用求解的过程中涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解，有多少解的问题，需要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算，即向量。例如大家可以通过一些简单例子体会线性相关和线性无关(零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等)。也可以从多个角度(线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度)体会线性相关和线性无关的本质。这部分内容概念多，定理性质也多，光凭记忆是很难掌握的。
秩是一个非常深刻而重要的概念，就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得到线性方程组有解的充分必要条件：若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，则有解，若不等，则无解。秩的灵活运用，充分体现了线性代数中推理和抽象性强的特点，同学们在做题时要好好体会，因此有必要进一步好好研究向量组的秩的计算方法。
在研究线性方程组的解的过程当中，同学们注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门研究，建立这方面的知识框架。
4做题巩固
初步掌握知识点以后要做什么?自然是用于解题了，做题一定要建立在完成知识点的总结的基础上，不能光傻傻的看书，这样你会一直没有进步，一定要拿起笔，书上写得再好也还是编者老师的东西，只有自己总结的才是自己的。一定要完成指定习题，最好把巩固习题也完成，做题会巩固知识点，发现自己存在的问题，逐步提高自己的解题能力。最好将自己的总结笔记分成两类，一类是知识点笔记，一类是题型思路归纳(题型研究是强化阶段课程的主要内容，但现在，同学们自己应慢慢学会归纳)，这样一来反馈学习效果更明显，思路更清晰。一定要加强训练，做题巩固，并注重逻辑性与叙述表述。
二、熟练基本运算，提高运算能力。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的运算有：行列式(数字型、抽象型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
这里所说的运算能力包括速度和准确率两个方面，同学们经常有这样的体会，一张数学卷子发下来，题目都会做，都有思路，但是一做起来就漏洞百出，总有地方出错，结果时间自然不够。归根结底就是因为自己平时从来不练，看到一道题，先想思路，如果方法上没有什么障碍的话就认为不会有问题了，其实事实上如果真的动手去做很可能发现并非想象那么简单。我的建议是：书后习题不用全做，只做老师计划中指定的题即可。其实线代的运算方式只有行列式、初等变换和矩阵的乘法这三种基本计算，一定要练到熟得不能再熟，基本不出错的地步。运算速度到后期显得比较重要，因为冲刺阶段都是要整张卷子的做，这时不仅要分配好各部分题目的时间，而且要确保能在预计的时间里完成相应的任务，否则会对个人的情绪产生影响。线代两道大题，阅卷时发现，很少有不会动笔的，但得满分的却不多。
三综合分析思维，方法灵活多变。
由于考研数学的知识点涉及面很广，而一张卷子能考查的覆盖面是有限的，那很自然会在综合要求上有所提高，大家经常发现线代的一道题可以覆盖几乎六章的内容，而且可以用不同的方法解答。
学好线代最关键要点在于"见一反三"，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。所以在基础阶段后期大家可以在老师的指导下有意识地训练自己的综合分析思维，并逐步选做一些综合性的习题，这样大家就会逐步掌握做题的思路、方法、技巧。
相信大家通过以上阶段的复习，并不断地归纳总结，初步搞清知识点的内在联系，就能逐步使所学知识融会贯通，这就为强化阶段的进一步学习打下了坚实的基础。