考研数学#2018-2025考研究生数学#特征值+特征向量

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特征值、特征向量是线性代数的重要内容之一，也是历年考研重点之一。它涉及到行列式、矩阵、相关、无关、秩、基础解系等一系列问题，知识点多，综合性强，必须要好好复习。后面部分的二次型实际上是特征值的几何应用，复习二次型时一定要搞清楚二次型与特征值、特征向量之间的内在联系。下面请随老师来总结一下有关特征值、特征向量的相关内容及计算。
1.特征值与特征向量的概念
(1)定义：设 为 阶方阵，如果数 和 维非零列向量 满足 ，则称 为 的特征值， 为 的对应于 的特征向量。
(2)特征方程： 称为矩阵 的特征方程， 称为 的特征多项式。
2.特征值与特征向量的计算方法
(1)定义法
(2)特征方程法
①由 求出全部特征值 ( );
②求出每个方程 的基础解系 ( )( );
③线性组合 ( 不同时为0)就是 的对应于 的全部特征向量。
(3)性质法(运用特征值与特征向量的性质)。
3.特征值的性质
(1)和、积性质
① ， 称为 的迹， 是 的全部特征值;
② ;其中 。
【注】 可逆 ( )
不可逆 0是 的特征值。
(2) 与 有相同的特征值。
(3)若 可逆， 是 的特征值，则 分别有特征值 ，且与 有相同的特征向量。
(4)实对称矩阵的特征值为实数。
(5)若 是 的特征值， 是对应的特征向量，则 是 的特征值， 是其对应的特征向量;特别是， 分别有特征值 和特征向量 。若 的全部特征值为 ，则 的全部特征值为 ，其中 是任意多项式。
4.特征向量的性质
(1)对应于不同特征值的特征向量线性无关;
(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3)若 是对应于同一个特征值 的特征向量，则 也是对应于 的特征向量;
【注】若 是对应于不同特征值 的特征向量，则 必不是特征向量。
(4)若 是 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数不超过 个;
(5)若 是实对称矩阵的 重特征值，则属于 的线性无关的特征向量的个数有 个。
本文主要介绍了特征值、特征向量的概念、性质及相关计算方法。希望2018考生可以多去练习及应用。这一部分考研出题较灵活，经常会利用相关性质考查相关题目。希望2018考生可以牢牢掌握该知识点。最后，希望2018考研的同学们好好复习并掌握这一部分的知识，争取在2018研究生入学考试中，取得优异成绩!